Делать медленно и однообразно, копаться.

Это примерно то же самое, что тянуть волынку, но в данном случае выражение не связано с монотонным звуком.

Канителью называли специальную тонкую нить, золотую или серебряную, которую использовали для вышивания узоров.

Само её производство было очень трудным. Нить приходилось вытягивать, добиваясь нужной толщины, — это и называлось «тянуть канитель».

Кропотливое, долгое изготовление канители легло в основу образного выражения.

Со временем выражение «тянуть канитель» приобрело более широкий смысл — «медленно, нудно говорить или делать однообразную и неинтересную работу».

Он начал свою карьеру мелким необеспеченным чиновником, спокойно тянул канитель лет сорок пять сряду, очень хорошо зная, до чего дослужится.

Фёдор Михайлович Достоевский. «Скверный анекдот»