Сильно, безостановочно и неудержимо смеяться, надорваться.

Выражение известно с XVIII века и является переводом французского оборота «Crever de rire».

Возник фразеологизм, вероятно, как описание действия человека, который при сильном приступе смеха резко размыкает губы («лопается»).

Так говорят о бурном проявлении веселья.

Поверите ли, ваше превосходительство, — как сказал он мне: "продай мёртвых душ", я так и лопнул со смеха.

Николай Васильевич Гоголь. «Мёртвые души»