Попасть в затруднительное, опасное или неприятное положение.

К переплёту книги это выражение не имеет никакого отношения, хотя многие так и полагают: попал в жёсткий переплёт — якобы как книга в твёрдую обложку.

Выражение связано с одним из старых значений слова «переплёт» — сплетённая из веток переплетение из прутьев, лучины, соломы, образующее кузов, ограду, ловушка для рыб.

И, как во всякой ловушке, оказаться в ней — дело малоприятное.

В современном русском языке выражение попасть в переплёт имеет синонимические (близкие по смыслу) фразеологизмы:

• попасть впросак,
• попасть в переделку,
• попасть в (неприятную) историю.

Перед наступлением был я в разведке и попал в такой переплёт, что пришлось несколько часов без движения на голой земле пролежать.

Александр Георгиевич Гончаров. «Наш корреспондент»