Продолжить чьи-либо начинания, традиции.

Корни слова «эстафета» происходят от итальянских слов стафта — «стремя» и производного от него стафетта — «гонец».

В Средние века срочные письма посылались особыми конными всадниками (нарочными). По дороге они передавали друг другу пакеты с почтой, символично касаясь друг друга при этом стременами.

Впоследствии стали устраивать командные соревнования по разным видам спорта — эстафеты, где спортсмены передавали друг другу эстафетную палочку.

Затем смысл этого выражения вышел за пределы спорта и стал использоваться в более широком значении — передача накопленного опыта с целью продолжить начатое дело.

Мы, старики, все перемрём, но нужно подумать, кому, в чьи руки передадим эстафету нашего великого дела.

Леонид Млечин. «До и после смерти Сталина»