Окончательно разувериться в ком-либо, чём-либо, отказаться от кого-либо, чего-либо; переставать думать о чём-либо.

Выражение собственно русское, пришло из чиновничьей терминологии. Ставить (поставить) крест, в прямом смысле, означало «перечеркнуть в бумагах, в делах всё ненужное крест-накрест, крестом».

Мы, принимая решение «завязать» с каким-либо безнадёжным делом, тоже говорим, что ставим на нём крест — только уже в переносном смысле и без всяких письменных пометок.

Является разговорным выражением. Фразеологизм характерен для разговорной речи, обычно употребляется в бытовых ситуациях, вносит в речь оттенок непринуждённости и простоты.

Ставить (поставить) крест на ком, на чём, на что? — в переносном смысле,— считать что-нибудь бесповоротно конченным, потерянным; отчаяться в ком-нибудь, потерять надежду на кого-нибудь. Признавать что-либо несостоятельным, пропавшим, бесперспективным.

Прежде всего распалось соглашение винокуров, и Стабровский перестал получать отступное; потом в банке, видимо, на Стабровском поставили крест и не считали нужным даже отвечать на его письма; наконец, отдельные лица, обязанные ему всем, проявили самую черную неблагодарность.

Дмитрий Наркисович Мамин-Сибиряк. «Хлеб»