Действовать быстро, незамедлительно.

На языке охотников «горячий след» — это след, оставленный недавно и потому сохранивший сильный запах преследуемого.

Выражение родилось в отделениях сыска старой России. Всякое преступление наиболее быстро раскрывается по свежим следам.

Если в поисках преступника используется собака-ищейка, то для неё особенно важно, чтобы след не простыл, чтобы запах не улетучился.

Я сажусь, он тоже… Дай, думаю, по горячим следам порасспрошу его: не проболтает ли чего-нибудь.

Алексей Феофилактович Писемский. «Леший»