От страха ощущать мелкую дрожь в теле; сильно бояться, испытывать чувство страха.

Сравнение более чем понятно: осенью пожелтевшие листья дрожат, трепеща от порывов ветра, отчаянно цепляясь за ветки деревьев, прежде чем ветер их сорвёт, закружит, унесёт в небытие. Умирать страшно, наверное, даже листьям.

Выражение связывают с евангельским преданием о том, что на осине повесился Иуда, предавший Иисуса, оттого осине и суждено вечно дрожать.

Осиновый лист действительно трясётся из-за малейшего дуновения ветерка. Это связано с его строением. Народ заметил это свойство осинового листа и образовал устойчивое выражение.

По другой версии, фразеологизм возник как распространение существовавшего ранее выражения «дрожать как лист». Появление уточнения ОСИНОВЫЙ сделало оборот более ярким, выразительным.

Матрёна вся дрожала как осиновый лист; ей-то какое дело дрожать? А как же прикажете ей не дрожать, когда через неё сочинилась вся эта беда.

Николай Гаврилович Чернышевский. «Что делать?»