Идти в армию, в солдаты (попасть, угодить, идти, отдавать).

В старину солдаты носили красные шапки. Соответственно, выражение означает идти или отдавать в солдаты.

У фразеологизма «под красную шапку» есть свои синонимы. К ним можно отнести устойчивое выражение

• Брить лбы

Иначе злобный старик, конечно, не пожалел бы стараний, чтобы упечь ненавистного сына под царский гнев и — уже бесповоротно — под красную шапку.

Александр Валентинович Амфитеатров. «Княжна»