Усердствовать, упорствовать, очень стараться.
Этот фразеологизм означает, очень стараться что-то делать, часто перед кем-либо; стараться изо всех сил, проявлять усердие, делать всё возможное для достижения поставленной цели.
Выражение восточнославянское, связано с мифическими представлениями об оборотнях, которые могут вылезать из кожи и превращаться в животных.
Отображает сложившееся в архетипических формах осознания мира представление о том, что кожа и тело — одно и то же. Отсюда огромная роль кожи в приметах, лечении, обычаях-оберегах.
Перевлесов пел; все слушали с большим вниманием. Он, видимо, чувствовал, что имеет дело с людьми сведущими, и потому, как говорится, просто лез из кожи.
Иван Сергеевич Тургенев. «Певцы»