Перестать заниматься, интересоваться кем-либо, чем-нибудь как не заслуживающим внимания.

Фразеологизм характерен для разговорной речи. Обычно употребляется в бытовых ситуациях, вносит в речь оттенок непринуждённости и простоты.

Махнуть рукой на кого? на что? — перестать обращать внимание на кого-либо или что-либо, предоставить кому-либо полную свободу действий.

Фразеологизм отражает характерный жест в ситуации, когда человек от досады, огорчения или отчаяния бросает какое-либо дело, отступается от своих прежних намерений.

Обычно в этом случае машут правой, чуть согнутой в локте рукой сверху вниз и от себя.

Говорится, когда кто-либо перестал принимать участие в чьих-либо делах, перестал обращать внимание на чье-либо поведение или примирился с создавшимся положением, ситуацией, считая вмешательство бесполезным. Нередко сопровождается соответствующим жестом.

Имеется в виду, что лицо, группа лиц отказались от намерений воздействовать на другое лицо или на ход событий после многочисленных неудачных попыток изменить ситуацию.

Говорится с неодобрением, с досадой, с сожалением. Часто со словами НА ВСЁ, ДАВНО. Обычно в роли сказуемого. Порядок слов-компонентов нефиксированный.

Время, когда он возмущался, устраивал сцены, бранился и даже дрался, давно уже прошло; он махнул рукой и теперь смотрел на романы своей ветреной супруги сквозь пальцы.

Антон Павлович Чехов. «Месть»