Осторожно намекать на что-нибудь, разузнав предварительно что-либо.

Процесс ловли рыбы имеет свои тонкости и требует определённой сноровки.

Особенно важно тихо и аккуратно закинуть удочку, чтобы не распугать рыбу, когда стайка их подошла к месту лова.

Неловким движением можно наделать шума, и тогда жди, когда рыба снова придёт к этому месту.

Такая же осторожность требуется, чтобы разузнать необходимое у человека так, чтобы он не догадался об истинной цели расспросов.

Поэтому когда человек задаёт, казалось бы, незначащие вопросы, пытаясь выяснить интересующую его информацию, то говорят, что он «закидывает удочку насчёт чего-либо».

А я уже на всякий случай в одном месте закинул удочку насчёт турбины. Такой товар на дороге не валяется.

Семён Петрович Бабаевский. «Кавалер Золотой Звезды»