Почтительно просить о чём-либо; выражать уважение, благодарность.

Это выражение пришло из глубокой старины, когда лоб называли челом, а письменное прошение — челобитной. Когда её подавали, то кланялись, били в землю челом.

Слова «челобитная» и «чело» давно уже вышли из употребления.

Однако, осталось в языке слово «чёлка» — волосы, свисающие на лоб, а фразеологизм «бить челом» получил значение «усиленно о чём-то просить, умолять».

В старину, при встрече с вельможей или царём, а тем более при обращении к ним с просьбой, было принято совершать земные поклоны, при этом лбами бились об пол.

Это называлось «кланяться большим обычаем» и выражало крайнюю степень уважения. Позднее слова «бью челом» стали означать просто приветствие.

Впрочем, даже и в этом значении он сохраняет оттенок торжественности, поэтому употреблять его в быту вряд ли будет уместно.

В Новгороде наконец сделался голод, и они порешили бить челом государю, чтобы он принял Новгород на всю свою волю.

Аполлон Николаевич Майков. «Рассказы из русской истории»