Быть близким к смерти; быть накануне краха.

Если человек настолько болен и слаб, что, кажется, вот-вот умрёт, про него скажут — дышит на ладан.

Употребляют это выражение и более широко, когда хотят подчеркнуть, что в чём-то едва-едва теплится жизнь: «Предприятия в городе закрылись, последняя фабрика дышит на ладан».

Ладаном называют специальную ароматическую смолу, которая применяется при богослужении.

Зёрнышки этой смолы кладут в специальный сосуд (кадило), зажигают и окуривают душистым благовонным дымом церковь (совершают каждение).

Такие же действия совершают и над умирающими (или уже умершими) людьми. С обрядом каждения связан оборот «курить фимиам» — льстиво восхвалять кого-то.

Горящего ладана боятся черти: про человека, избегающего контакта с чем-то, говорят, что он бежит, «как чёрт от ладана».

— Да, Крестьян Иванович. И все-то мы так, чего! старикашка! в гроб смотрит, дышит на ладан, как говорится, а сплетню бабью заплетут какую-нибудь, так он уж тут слушает; без него невозможно…

Фёдор Михайлович Достоевский. «Идиот»