В наивысшей степени, до последней частицы своего существа. Полностью, совершенно.

В костях человека есть так называемый костный мозг. Соответственно, до мозга костей — очень сильно, совсем, насквозь. Настоящий, истинный; законченный.

Имеется в виду, что человек в полной мере, во всех своих проявлениях обладает характерными качествами, свойствами. Обычно о роде занятий, профессии, нравственных качествах, поведении в целом. Говорится с одобрением, иногда с оттенком иронии.

В другом значении, имеется в виду, что человек твёрдо убеждён в чём-либо и, будучи приверженцем каких-либо нравственных, поведенческих, мировоззренческих установок, является носителем какого-либо внутреннего свойства.

Говорится с одобрением или с неодобрением (в зависимости от позиции говорящего).

Как и у других фразеологизмов, у выражения «до мозга костей» есть свои синонимы:

• С головы до ног
• До кончиков ногтей
• Целиком и полностью
• От кончика носа и до кончика хвоста

Творческий, рисковый, активный, мгновенно соображающий, киношник до мозга костей, никогда не унывающий, Леонид был, конечно, мотором, двигателем съёмочной группы.

Эльдар Александрович Рязанов. «Подведённые итоги»