1. О чём-либо доступном, в непосредственной близости; там, где удобно в любой момент взять; близко, рядом, недалеко.
2. Тайно, секретно.

Под рукой означает — находиться в непосредственной близости от кого-либо и быть готовым помочь в каком-то деле, то есть очень близко, совсем рядом, недалеко совсем, маленькое расстояние до нужного объекта.

Как и у других фразеологизмов, у выражения «под рукой» есть свои синонимы: рядом, перед глазами, возле, рукой подать, под носом, под боком, близко, тайно, поблизости.

К антонимам можно отнести следующие устойчивые выражения:

• У чёрта на куличках
• За тридевять земель
• Куда Макар телят не гонял

А я всю ночь здесь ночую, в сенях, он и не услышит, а Зосимову велю ночевать у хозяйки, чтобы был под рукой.

Фёдор Михайлович Достоевский. «Преступление и наказание»