Что-то пришло в движение, действие; о начале какого-либо затяжного процесса.

Разговорное выражение, которое обычно употребляется в бытовых ситуациях, вносит в речь оттенок непринуждённости и простоты.

Губе́рния — основная административно-территориальная единица в дореволюционной России и в СССР до 1926 года. Здесь: город, где находилось губернское правление и другие административные учреждения, а также чиновники, которые работали в этих учреждениях.

Пошла́ — прошедшее время от глагола «пойти», в значении «начать делать что-либо».

Выражение «пошла писа́ть губерния» высмеивало бюрократизм царского аппарата и первоначально означало: губернские учреждения, их чиновники начали бесконечную переписку по какому-либо делу.

В переносном значении это выражение впервые употребил великий русский писатель XIX века Николай Васильевич Гоголь (1809–1852) в поэме «Мёртвые души» (1842 год).

Говорится пренебрежительно об активном развитии каких-либо действий, ничтожных событий, не вызывающих уважения у говорящего. Так говорят о начале долгого и непростого дела, каких-нибудь запутанных или сложных действий.

Употребляется: шутливо-иронически по поводу бумажной, бюрократической волокиты или, наоборот, о бурном, динамичном начале важного дела.

Стоит только мне оглядеть аудиторию… и произнести стереотипное «в прошлой лекции мы остановились на…», как фразы длинной вереницей вылетают из моей души и — пошла писать губерния.

Антон Павлович Чехов. «Скучная история»