Делать что-то очень медленно, умышленно затягивая работу.

Когда человек медленно и занудно говорит о второстепенном и никак не может добраться до сути дела, про него говорят, что он тянет волынку.

То же самое можно сказать и про лентяя, который работает еле-еле, копается и только и ждёт повода, чтобы бросить дело совсем. Короче, волынит.

В этом выражении упомянут народный духовой инструмент (очень любим в Шотландии), который издаёт монотонные тягучие звуки.

Сам характер этих звуков и стал причиной возникновения оборота. Есть и ещё один похожий по значению оборот: тянуть кота за хвост. Любопытная перекличка.

— Уберёмся и распишемся, — говорил Семён… — Хватит волынку тянуть… Я, в общем, так решил.

Борис Алексеевич Анашенков. «Сестрёнка»