Нищенствовать, недоедать, нуждаться в самом необходимом, начать вести полуголодное существование из-за отсутствия материальных средств.

Выражение передаёт ситуацию, в которой зубы стали не нужны и их можно «положить» куда-нибудь на полку за ненадобностью. Ибо нечего ими жевать.

И отсюда следует прямой смысл — положить зубы на полку значит влачить голодное или полуголодное существование. Ни о каких вставных зубах, которые вынимаются и кладутся на полку, речи не идёт.

Происхождение этого выражения связано с обработкой льна для получения пряжи, о чём упоминается ещё в двенадцатом веке.

Изначально на Руси лён выращивался для собственных нужд, но со временем стал и предметом торговли. Чтобы получить пряжу, крестьяне сперва колотили лён, а затем расчёсывали. От качества выполнения этих операций зависела соответственно и цена изделия.

Лён чесали специальной дощечкой, на которой были закреплены железные зубья одинаковой длины Т-образной формы. Когда выдавался неурожайным год, то чесать, собственно говоря, было нечего и поэтому приспособление «с зубами» оставалось лежать на полке. В переносном смысле это тоже означает голодное или полуголодное существование.

На другой день утром об обеде уже не помышляли. — На этот раз нам придётся положить зубы на полку, — сказал Фридрих.

Эжен Франсуа Видок. «Записки начальника Парижской тайной полиции»