Действовать по чьей-либо указке.

По́вод (поводок) — это ремень узды, служащий для управления лошадью, который закреплён на её морде.

В основе выражения «идти на поводу» лежит образ покорной лошади, которая, склонив голову, послушно идёт за хозяином, ведущим её за поводок.

Употребляется по отношению к тем, кто постоянно слушает и исполняет чьи-то советы, указания, просьбы.

Комиссаржевская категорически отказывалась идти на поводу у обывателя, потакая вкусам мещанского зрителя.

Александра Яковлевна Бруштейн. «Страницы прошлого»